ディリクレ環

数学におけるディリクレ環（ディリクレかん、英: Dirichlet algebra）とは、あるコンパクトハウスドルフ空間 X に関連する特定のタイプの環のことを言う。ディリクレ環は X 上の有界連続関数の一様環 C(X) の閉部分環であり、その実部は X 上の有界連続「実」関数の環において稠密である。この概念は Andrew Gleason (1957) によって導入された。

例

${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ を ${\displaystyle X}$ 上で連続なすべての有理関数の集合とする。すなわち、${\displaystyle X}$ に極を持たない関数の集合とする。このとき

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X) {\bar {{\mathcal {R}}(X)}}}$

は ${\displaystyle C(X)}$ および ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ の *-部分環である。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ が ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ において稠密であるとき、${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ のことをディリクレ環（Dirichlet algebra）と呼ぶ。

ある作用素 ${\displaystyle T}$ が ${\displaystyle X}$ をスペクトル集合として持ち、${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ がディリクレ環であるなら、${\displaystyle T}$ には正規境界伸張（normal boundary dilation）が存在する。これは、

${\displaystyle X=\mathbb {D} }$

とした場合の結果であるナジーの伸張定理を一般化するものである。

参考文献

• Gleason, Andrew M. (1957), “Function algebras”, in Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle, Seminars on analytic functions: seminar III : Riemann surfaces ; seminar IV : theory of automorphic functions ; seminar V : analytic functions as related to Banach algebras, 2, Institute for Advanced Study, Princeton, pp. 213–226, Zbl 0095.10103 
• Nakazi, T. (2001), “Dirichlet algebra”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dirichlet_algebra 
• Completely Bounded Maps and Operator Algebras Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6
• Wermer, John (November 2009), Gleason's work on Banach algebras, in Bolker, Ethan D., “Andrew M. Gleason 1921–2008”, Notices of the American Mathematical Society 56 (10): 1248–1251, http://www.ams.org/notices/200910/rtx091001236p.pdf .